Numerische Simulationen
Ich habe zu meinem eigenen Vergnügen einige einfache numerische Simulationen durchgeführt. Für den Fall, dass sich jemand für diese Art von Simulationen interessiert, habe ich hier meine Ausarbeitungen zusammengestellt. Es handelt sich dabei nicht um wissenschaftliche Arbeiten. Vielmehr möchte ich zeigen, dass man mit einfachen Mitteln, ich habe nur Excel mit Visual Basic Makros verwendet, eine ganze Reihe mathematisch-physikalischer Zusammenhänge veranschaulichen kann. Excel zu verwenden, hat den Vorteil, dass für die Berechnungen eine große Zahl mathematischer und statistischer Funktionen zur Verfügung steht und dass die grafische Aufbereitung der Ergebnisse sehr einfach ist.
Weiter unten auf dieser Seite sind darüber hinaus einfache Simulationen zu anderen Themen zu finden, die ich auch selbst entwickelt habe:
- Straßenverkehrssimulationen
- Epidemiologische Simulationen: Anwendungsfall COVID-19
- NEU: Sozioökonomische Simulationen: Ein stark vereinfachtes "Weltmodell"
Zuerst habe ich verschiedene Simulationen mit Zufallszahlen und Zufallsverteilungen durchgeführt. Dabei habe ich mich insbesondere mit Random Walks beschäftigt, unter anderem auch mit Mähroboter-Simulationen. Für Interessierte enthält der Anhang einige mathematische Herleitungen.
 | Zufallssimulationen (39 Seiten, 39 Abbildungen) Zufallssimulationen.pdf (1.1MB) |
Neu (20.01.2022): Quantitative Auswertung der Mähroboter-Simulationen
Neu (13.12.2023): Inhaltsverzeichnis im Sidebar
Die in der Ausarbeitung beschriebenen Diffusionssimulationen wurden noch mit Excel-Tabellen berechnet. Später habe ich dafür Excel-Makros verwendet. Die Excel-Datei (mit Animation) steht hier zur Verfügung.
 | Diffusionssimulationen (Excel mit Makros) Diffusionssimulationen.xlsm (146.9KB) |
Makroausführung muss freigegeben werden; dann Parameter auswählen und zuerst Initialisierung aufrufen.
Random Walks
Dann habe ich Berechnungen von ballistischen Bahnen durchgeführt. Dazu habe ich für die numerische Integration der Bewegungsgleichungen ein Leapfrog-Verfahren verwendet. Ausgehend von der einfachen Wurfparabel habe ich die Modelle schrittweise verfeinert, bis hin zu Abfangbahnen für Kurzstreckenraketen. So werden Schritt für Schritt die einzelnen Effekte veranschaulicht, die die Bahndynamik bestimmen.
| Ballistische Bahnen (26 Seiten, 14 Abbildungen) Ballistische Bahnen.pdf (1.2MB) |
Neu (05.07.2023): Anmerkungen zur Drallstabilisierung von Geschossen und zur aerodynamischen Steuerung von Raketen mittels Steuerflächen
Neu (07.07.2023): Spline-Interpolation der aerodynamischen Beiwerte
Neu (13.12.2023): Inhaltsverzeichnis im Sidebar
Der im Anhang als Beispiel enthaltene Makrocode ist sicher nicht mustergültig, aber er erfüllt seinen Zweck.
Für das Leapfrog-Verfahren habe ich mir eine einfache Schrittweitensteuerung überlegt und damit Zwei- und Dreikörperbahnen berechnet.
| Eine einfache Schrittweitensteuerung für das Leapfrog-Verfahren (11 Seiten, 9 Abbildungen) Leapfrog-Schrittweitensteuerung.pdf (822.12KB) |
(11 Seiten, 9 Abbildungen)
| Leapfrog-Schrittweitensteuerung.pdf (822.12KB) |
Bemerkenswert ist, dass auch mit dieser Schrittweitensteuerung beim Leapfrog-Verfahren Gesamtimpuls und -drehimpuls exakt erhalten bleiben (bis auf Rundungsfehler).
Neu (16.02.2022): Abschnitt Erhaltungsgrößen mit dem mathematischen Beweis für die Erhaltung von Gesamtimpuls und -drehimpuls
Neu (13.12.2023): Inhaltsverzeichnis im Sidebar
Periodische 3-Körper-Bahnen
Das Leapfrog-Verfahren mit Schrittweitensteuerung habe ich verwendet, um dreidimensionale N-Körper-Simulationen mit bis zu 100 Massen durchzuführen.
| Dreidimensionale N-Körper-Simulationen (15 Seiten, 9 Abbildungen) Dreidim. N-Körper-Simulationen.pdf (927.68KB) |
(15 Seiten, 9 Abbildungen)
| Dreidim. N-Körper-Simulationen.pdf (927.68KB) |
Neu (06.01.2022): Abstandskurven in Abb. 4
Neu (09.01.2022): Abschnitt "Dreidimensionale Visualisierung" - Die Animation zeigt als Beipiel den Spezialfall einer 3-Körper-Simulation.
Neu (11.02.2023): Beispiel 5 mit interessanten Dreikörperbahnen
Straßenverkehrssimulationen
Ich habe auch einige einfache Simulationen durchgeführt, um Problemstellungen aus dem Straßenverkehr unter physikalischen Gesichtpunkten zu untersuchen, und komme zu Ergebnissen, die nicht unbedingt dem entsprechen, was man in der Fahrschule lernt.
| Straßenverkehrssimulationen (26 Seiten, 26 Abbildungen, 2 Tabellen) Straßenverkehrssimulationen.pdf (843.01KB) |
(26 Seiten, 26 Abbildungen, 2 Tabellen)
| Straßenverkehrssimulationen.pdf (843.01KB) |
Neu (20.12.2022): Szenario 3C "Überholen auf der Landstraße"
Neu (23.12.2022): Anhang mit analytischer Lösung zu Szenario 3C
Neu (25.12.2022): Abschnitt "Einfluss von Fluktuationen"
Inhalt:
- Bremsvorgänge
- Abstandsregeln
- Überholvorgänge
- Anfahren an der Ampel
- Einfluss von Fluktuationen
- Kolonnenfahrt
Epidemiologische Simulationen
Ich habe selbst eine einfache Infektionssimulation entwickelt und damit mehrere Szenarien für die COVID-19 Omikron-Welle Anfang 2022 durchgerechnet und mit den Ergebnissen des RKI verglichen.
| Infektionssimulationen (10 Seiten, 6 Abbildungen) Infektionssimulationen.pdf (457.34KB) |
Neu (17.03.2022): Abschnitt "Simulation der Überlagerung zweier Wellen": Modellierung der zwei Omikron-Subtypen BA.1 und BA.2
Neu (30.04.2022): Anhang "Vergleich verschiedener R-Werte"
Neu (22.10.2022): Korrektur der Umrechnung auf den infizierten Anteil der Gesamtbevölkerung
Diese Simulationstechnik habe ich auch in einer Untersuchung über die Auswirkungen des Oktoberfests 2022 auf die Ausbreitung von COVID-19 benutzt.
| Auswirkungen des Oktoberfests (8 Seiten, 2 Abbildungen, 2 Tabellen) COVID-19 Oktoberfest.pdf (569.34KB) |
(8 Seiten, 2 Abbildungen, 2 Tabellen)
| COVID-19 Oktoberfest.pdf (569.34KB) |
Fazit: Die Auswirkungen des Oktoberfests 2022 auf das Infektionsgeschehen sind signifikant. Bis zu 100.000 zusätzliche COVID-19-Infektionen – unter Berücksichtigung der Dunkelziffer bis zu 400.000 – und COVID-19-Todesfälle in der Größenordnung von 100 allein in Bayern können auf das Oktoberfest zurückgeführt werden.
NEU: Sozioökonomische Simulationen
Vor über 50 Jahren hat der Club of Rome unter dem Titel „Die Grenzen des Wachstums“ die Ergebnisse am MIT durchgeführter Studien auf der Basis eines sogenannten Weltmodells veröffentlicht. Mit Hilfe dieses Weltmodells wurden die Zusammenhänge zwischen Bevölkerungswachstum, Ernährung, Industrialisierung, Wohlstand, Rohstoffreserven und Umweltzerstörung untersucht. Bahnbrechend waren hierbei nicht die enthaltenen Zukunftsprognosen, obwohl diese große Aufmerksamkeit erhielten, sondern die systemanalytische Methodik, die es erstmals erlaubte, diese komplexen Zusammenhänge unter Einsatz von Computersimulationen in ihrer Gesamtheit auszuwerten und so den Einfluss der verschiedenen Stellgrößen, z.B. der Geburtenrate, auf die Vielzahl miteinander verknüpfter Regelkreise zu verstehen.
Das Verständnis derartiger Zusammenhänge ist auch das Ziel des stark vereinfachten „Weltmodells“, das ich entwickelt habe.
| Ein stark vereinfachtes "Weltmodell" (27 Seiten, 16 Tabellen, 18 Abbildungen, Inhaltsverzeichnis im Sidebar) Weltmodell.pdf (952.42KB) |
(27 Seiten, 16 Tabellen, 18 Abbildungen, Inhaltsverzeichnis im Sidebar)
| Weltmodell.pdf (952.42KB) |
Neu (13.12.2023): Szenarien 7A und 7B zum Einfluss der Geburtenrate, überarbeitetes Fazit
Schwerpunkte der Untersuchungen sind der Einfluss der Geburtenrate bzw. der Bevölkerungsentwicklung auf die anderen Systemvariablen, insbesondere auch auf den Wohlstand, die Bedeutung der Bildung, sowie die Industrialisierung und die daraus resultierende Umweltproblematik. Die nachfolgende Abbildung zeigt ein Beispiel.
Szenario 5: Industrialisierung
Die in der abgebildeten Simulation ermittelten prozentualen Veränderungen der wichtigsten Systemvariablen sind vergleichbar mit den realen Veränderungen in Malaysia von 1990 bis 2020. Das zeigt, dass das stark vereinfachte „Weltmodell“ durchaus geeignet ist, die grundsätzlichen Zusammenhänge nachzubilden und anschaulich zu machen, ohne dass das Verständnis durch eine zu große Komplexität leidet.
